线性代数
参考资料
- 3b1b - 介绍微积分 / 线性代数的 "本质" - 5
- 宋浩 - 应试, 有些冗余 - 3
矩阵
- 运算 / 分块矩阵
- 逆 (反变换)\(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\mathrm{adj}(A)\)
- 伴随矩阵 \(\mathrm{adj}(A)_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ji} \quad (\text{其中} M_{ji} \text{为元素} a_{ji} \text{的余子式})\)
- 初等变换 (不改变 向量线性变换 的 相对关系 的变换)
- 正交矩阵 描述不改变变换的向量间的夹角的变换
向量
- 线性关系
- 极大线形无关组 一组线性无关向量的集合 (空间的一组基)
- 内积
行列式
- 变换后 "面积" 的比例关系
- 展开 / 变换 / 求解
rank
- 线性空间维数
- 线性相关 /
行列式 == 0 本质是降维 / 退化
特征值与特征向量
- 变换后 "特定方向"(特征向量) 上存在的比例关系 (特征值)
- 对角化 (变基后特征向量正交, 要求满 rank)
矩阵关系
- 等价 (同一空间维度)
- 相似 (不同基下的同一变换)
- 合同 (不同基下的同一个二次型)
- 正交相似 (不同正交基下的同一变换)
线性方程组
二次型矩阵
- 用于描述二次型函数的矩阵
- 用可逆变换 (不退化) 是矩阵"对角", 得到标准形
- 再将系数简化为正负 1 得到规范形
- 判断有定性
- 正定描述变换会使向量长度增加, 负定反之
- 正定描述变换会使向量夹角的锐顿性不变, 半负定反之