抽象代数

参考资料

• AI - 问就行了 - 5

群

• 定义集合 G 上封闭 (结果还在集合上) 的二元运算 *
  • 满足结合律
  • 存在单位元 e , 对任意 a,b∈G, 有 a*e=e*a=a
  • 逆元: 对于任意 a∈G, 存在 b∈G, 使得 a*b=b*a=e
  • 则称 G 在 * 下为群

阿贝尔群

• 若 G 在 * 下为群, 且 * 满足交换律, 则 G 在 * 下为阿贝尔群
• 我们常用 + 描述阿贝尔群, 因为数学当中许多 * 不具有交换律, 但加法往往具有交换律 (好看)

子群

• 若集合 H 为 G 的子集, 且 H 在 G 的 * 下为群, 则称 H 为 G 的子群

陪集

• 若 a 属于 G , 则 a*H (所有 ah) 为集合 H 的一个陪集

一般线性群

• 所有行列式不为 0 的 n 阶方阵构成的集合在 * 下构成一般线性群
• 它不是一个阿贝尔群

特殊线性群

• 所有行列式为 1 的 n 阶方阵构成的集合在 * 下构成一般线性群
• 它不是一个阿贝尔群

对称群

• 所有从集合 X 到自己的双射构成的集合在复合运算下构成对称群
• 不一定是阿贝尔群
• 若 X 是 {1,2,3,...,n}, 称一般对称群 (置换群, 元素之间相差一次置换)

群论完整笔记

基本概念

群的定义

集合\(G\)配备二元运算\(\cdot\)满足： 1. 封闭性：\(\forall a,b \in G, a\cdot b \in G\) 2. 结合律：\((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)\) 3. 单位元：\(\exists e \in G, \forall a \in G, e\cdot a = a\cdot e = a\) 4. 逆元：\(\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a\cdot a^{-1} = e\)

群的阶

有限群\(G\)的元素个数记为\(|G|\)

例子

• 平凡群\(\{e\}\)
• 整数加法群\((\mathbb{Z}, +)\)
• 模\(n\)整数群\((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\)
• 对称群\(S_n = \{\sigma: \{1,...,n\} \to \{1,...,n\} \mid \sigma \text{是双射}\}\)
• 二面体群\(D_n = \langle r,s \mid r^n = s^2 = e, srs = r^{-1}\rangle\)

子群理论

子群判定

非空子集\(H \subseteq G\)是子群当且仅当： \(\forall a,b \in H, ab^{-1} \in H\)

生成子群

对\(S \subseteq G\)，定义： \(\langle S \rangle = \bigcap_{S \subseteq H \leq G} H\)

陪集分解

对子群\(H \leq G\)： * 左陪集：\(gH = \{gh \mid h \in H\}\) * 右陪集：\(Hg = \{hg \mid h \in H\}\) * 指数$[G:H] = $不同左陪集的数量

Lagrange定理

对有限群\(G\)和子群\(H\)： \(|G| = [G:H] \cdot |H|\)

推论： * 子群的阶整除群的阶 * 元素阶数整除群的阶

正规子群与商群

正规子群

\(N \triangleleft G\)定义为： \(\forall g \in G, gN = Ng\)

等价条件： * \(\forall g \in G, gNg^{-1} = N\) * \(N\)是某个同态的核

商群构造

对\(N \triangleleft G\)： \(G/N = \{gN \mid g \in G\}\) 运算：\((aN)(bN) = (ab)N\)

群同态

定义

映射\(\phi: G \to H\)满足： \(\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)\)

性质： * \(\phi(e_G) = e_H\) * \(\phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1}\)

同态基本定理

若\(\phi: G \to H\)是同态，则： \(G/\ker\phi \cong \operatorname{im}\phi\)

群作用

定义

群\(G\)在集合\(X\)上的作用是映射： \(G \times X \to X\) 满足： 1. \(e\cdot x = x\) 2. \(g\cdot(h\cdot x) = (gh)\cdot x\)

轨道与稳定子

• 轨道：\(G\cdot x = \{g\cdot x \mid g \in G\}\)
• 稳定子：\(G_x = \{g \in G \mid g\cdot x = x\}\)

轨道公式： \(|G\cdot x| = [G:G_x]\)

Sylow定理

设\(|G| = p^n m\)，\(p \nmid m\)： 1. 存在阶为\(p^n\)的子群(Sylow p-子群) 2. 所有Sylow p-子群共轭 3. Sylow p-子群数量\(n_p \equiv 1 \mod p\)且\(n_p \mid m\)

有限生成Abel群分类

任何有限生成Abel群同构于： \(\mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}\) 其中\(d_1 \mid \cdots \mid d_k\)

重要例子

循环群

\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \langle a \mid a^n = e\rangle\)

性质： * 子群与商群仍为循环群 * 自同构群\(\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)

对称群\(S_n\)

• 共轭类由cycle type决定
• 交错群\(A_n \triangleleft S_n\)，\([S_n:A_n] = 2\)

四元数群

\(Q_8 = \{\pm1, \pm i, \pm j, \pm k\}\) 满足\(i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\)

群列

正规列

\(G = G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_n = \{e\}\)

合成列

每个商因子\(G_i/G_{i+1}\)是单群

Jordan-Hölder定理

群的合成因子(不计顺序)唯一确定

自由群与表示

自由群

\(F(X) = \(由集合\)X\)生成的自由群

群表示

同态\(\rho: G \to GL(V)\)，其中\(V\)是向量空间

同构第一定理 (First Isomorphism Theorem)

定理陈述

设\(\phi: G \to H\)为群同态，则： $$ G/\ker\phi \cong \operatorname{im}\phi $$ 其中： - \(\ker\phi = \{g \in G \mid \phi(g) = e_H\}\) 是同态的核 - \(\operatorname{im}\phi = \{\phi(g) \mid g \in G\}\) 是同态的像

证明步骤

1. 定义商映射： \(\bar{\phi}: G/\ker\phi \to \operatorname{im}\phi\) \(\bar{\phi}(g\ker\phi) = \phi(g)\)

2. 验证良定义性： 若\(g'\ker\phi = g\ker\phi\)，则\(g' = gk\) (\(k \in \ker\phi\)) 于是\(\phi(g') = \phi(gk) = \phi(g)\phi(k) = \phi(g)e_H = \phi(g)\)

3. 同态性： \(\bar{\phi}((g_1\ker\phi)(g_2\ker\phi)) = \bar{\phi}(g_1g_2\ker\phi) = \phi(g_1g_2) = \phi(g_1)\phi(g_2) = \bar{\phi}(g_1\ker\phi)\bar{\phi}(g_2\ker\phi)\)

4. 单射性： \(\bar{\phi}(g\ker\phi) = e_H \Rightarrow \phi(g) = e_H \Rightarrow g \in \ker\phi \Rightarrow g\ker\phi = \ker\phi\)（单位元）

5. 满射性： 由\(\operatorname{im}\phi\)的定义直接可得

几何解释

可将同态分解为： $$ G \xrightarrow{\pi} G/\ker\phi \xrightarrow{\cong} \operatorname{im}\phi \hookrightarrow H $$ 其中： - \(\pi\)是自然投射（满同态） - 中间是同构 - 最后是包含映射（单同态）

应用实例

1. 行列式同态： \(\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^\times\) \(\ker\det = SL_n(\mathbb{R})\) 得到： \(GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^\times\)

2. 指数映射： \(\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^+,\times)\) \(\ker\exp = \{0\}\) 得到： \(\mathbb{R}/\{0\} \cong \mathbb{R}^+\)（平凡情形）

3. 符号同态： \(\operatorname{sgn}: S_n \to \{\pm 1\}\) \(\ker\operatorname{sgn} = A_n\) 得到： \(S_n/A_n \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)

历史注记

这个定理最早出现在Emmy Noether 1927年的工作中，她系统发展了同调代数中的同构定理。特殊情形在Dedekind和Frobenius的早期工作中已有体现。

推广形式

这是三个同构定理中的第一个，其余两个是： 1. 第二同构定理：\(H/(H\cap N) \cong HN/N\) （\(H \leq G\), \(N \triangleleft G\)） 2. 第三同构定理：\((G/N)/(M/N) \cong G/M\) （\(N \triangleleft M \triangleleft G\)）

环论完整笔记

基本概念

环的定义

集合\(R\)配备两个二元运算\(+\)和\(\cdot\)满足： 1. \((R, +)\)是Abel群 2. \((R, \cdot)\)是半群 3. 分配律： \(a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c\) \((a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c\)

特殊环类

• 交换环：乘法可交换
• 含幺环：存在乘法单位元\(1_R\)
• 无零因子环：\(ab=0 \Rightarrow a=0 \lor b=0\)
• 整环：含幺交换无零因子环
• 除环：非零元乘法构成群
• 域：交换除环

例子

• 整数环\(\mathbb{Z}\)
• 多项式环\(F[x]\)（\(F\)为域）
• 矩阵环\(M_n(R)\)
• 剩余类环\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)
• 四元数环\(\mathbb{H} = \{a+bi+cj+dk \mid a,b,c,d \in \mathbb{R}\}\)

子环与理想

子环判定

子集\(S \subseteq R\)是子环当： 1. \((S, +)\)是子群 2. \(a,b \in S \Rightarrow ab \in S\)

理想定义

子集\(I \subseteq R\)是理想当： 1. \((I, +)\)是子群 2. \(\forall r \in R, a \in I\), 有\(ra \in I\)和\(ar \in I\)

生成理想

对\(A \subseteq R\)： \((A) = \bigcap_{A \subseteq I \unlhd R} I\)

主理想：\((a) = \{ra + as + na + \sum x_iay_i \mid r,s,x_i,y_i \in R, n \in \mathbb{Z}\}\)

商环构造

对理想\(I \unlhd R\)： \(R/I = \{r+I \mid r \in R\}\) 运算： \((a+I)+(b+I) = (a+b)+I\) \((a+I)(b+I) = ab+I\)

环同态

定义

映射\(\phi: R \to S\)满足： 1. \(\phi(a+b) = \phi(a)+\phi(b)\) 2. \(\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)\) 若\(R,S\)含幺则通常要求\(\phi(1_R)=1_S\)

同态基本定理

若\(\phi: R \to S\)是环同态，则： \(R/\ker\phi \cong \operatorname{im}\phi\)

特殊理想

素理想

真理想\(P\)满足： \(ab \in P \Rightarrow a \in P \lor b \in P\)

等价条件： \(R/P\)是整环

极大理想

真理想\(M\)满足： 不存在理想\(I\)使得\(M \subsetneq I \subsetneq R\)

等价条件： \(R/M\)是域

中国剩余定理

设\(I_1,...,I_n\)是两两互素的理想（\(I_i+I_j=R\)对\(i \neq j\)），则： $$ R/\bigcap_{k=1}^n I_k \cong \prod_{k=1}^n R/I_k $$ 特别地，对\(\mathbb{Z}\)有： \(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) （当\((m,n)=1\)）

唯一分解整环(UFD)

定义

整环\(R\)满足： 1. 每个非零非单位元可分解为不可约元乘积 2. 分解在相伴意义下唯一

例子

• \(\mathbb{Z}\)
• 域\(F\)上多项式环\(F[x]\)
• 高斯整数环\(\mathbb{Z}[i]\)

主理想整环(PID)

定义

整环\(R\)满足每个理想都是主理想

性质： * PID必是UFD * 存在非PID的UFD（如\(\mathbb{Z}[x]\)）

欧几里得整环(ED)

定义

存在度函数\(\delta: R\setminus\{0\} \to \mathbb{N}_0\)使得： \(\forall a,b \neq 0\), 存在\(q,r\)满足\(a=bq+r\)且\(r=0\)或\(\delta(r) < \delta(b)\)

例子： * \(\mathbb{Z}\)取绝对值 * \(F[x]\)取多项式次数

诺特环

定义

满足以下等价条件： 1. 理想升链条件 2. 每个理想有限生成 3. 每个非空理想集有极大元

希尔伯特基定理

若\(R\)是诺特环，则\(R[x]\)也是诺特环

局部化

对乘法闭集\(S \subseteq R\)（\(1 \in S\), \(s,t \in S \Rightarrow st \in S\)），定义： \(S^{-1}R = \{(r,s) \mid r \in R, s \in S\}/\sim\) 其中\((r,s) \sim (r',s')\)当存在\(t \in S\)使\(t(rs'-r's)=0\)

运算： \((r,s)+(r',s') = (rs'+r's, ss')\) \((r,s)(r',s') = (rr', ss')\)

张量积

对\(R\)-模\(M\)和\(N\)，定义： \(M \otimes_R N = F(M \times N)/K\) 其中\(F\)是自由\(R\)-模，\(K\)是由双线性关系生成的子模

性质： * \(R \otimes_R M \cong M\) * \((M \oplus N) \otimes P \cong (M \otimes P) \oplus (N \otimes P)\)

范畴观点

自由环

集合\(X\)上的自由环\(F(X)\)由所有非交换多项式组成

泛性质

对任意环\(S\)和映射\(f: X \to S\)，存在唯一环同态\(\tilde{f}: F(X) \to S\)扩展\(f\)

重要定理

雅各布森根

定义： \(\operatorname{Jac}(R) = \bigcap_{M \text{极大理想}} M\)

性质： \(x \in \operatorname{Jac}(R)\)当且仅当\(\forall r \in R\), \(1-rx\)可逆

半单环结构定理

阿廷半单环同构于有限个除环上矩阵环的直积

域论联系

分式域构造

对整环\(R\)，取\(S = R\setminus\{0\}\)，则： \(\operatorname{Frac}(R) = S^{-1}R\)是包含\(R\)的最小域

例子： \(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}\) \(\operatorname{Frac}(F[x]) = F(x)\)

代数几何基础

希尔伯特零点定理

设\(k\)代数闭域，则： \(\operatorname{Rad}(I) = \mathcal{I}(\mathcal{Z}(I))\) 其中\(\mathcal{Z}\)是零点集，\(\mathcal{I}\)是理想定义函数

同调代数初步

投射模

\(P\)是投射模当且仅当函子\(\operatorname{Hom}(P,-)\)正合

平坦模

\(F\)是平坦模当且仅当\(-\otimes_R F\)正合

非交换环

单环

没有非平凡理想的环

例子： 除环 矩阵环\(M_n(D)\)

阿廷-韦德伯恩定理

半单阿廷环同构于有限个除环上矩阵环的直积

域论完整笔记

基本概念

域的定义

集合\(F\)配备两个二元运算\(+\)和\(\cdot\)满足： 1. \((F, +)\)是Abel群 2. \((F\setminus\{0\}, \cdot)\)是Abel群 3. 分配律：\(a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c\)

子域与扩域

• 子域：\(K \subseteq F\)关于相同运算构成域
• 扩域：记作\(F/K\)，表示\(F\)是\(K\)的扩域
• 素域：不含真子域的域，特征\(p\)时为\(\mathbb{F}_p\)，特征\(0\)时为\(\mathbb{Q}\)

域扩张理论

扩张次数

\([F : K] = \dim_K F\)作为\(K\)-向量空间的维数

性质： * 有限扩张：\([F : K] < \infty\) * 塔式公式：\(K \subseteq E \subseteq F\)则\([F : K] = [F : E][E : K]\)

代数扩张

• 代数元：\(\alpha \in F\)在\(K\)上代数指存在\(0 \neq f(x) \in K[x]\)使\(f(\alpha)=0\)
• 超越元：非代数元
• 极小多项式：\(\alpha\)在\(K\)上代数时，次数最低的首一多项式\(m_\alpha(x)\)

单扩张

\(K(\alpha) = \bigcap_{\alpha \in E \supseteq K} E\)

结构： * 代数情形：\(K(\alpha) \cong K[x]/(m_\alpha(x))\) * 超越情形：\(K(\alpha) \cong K(x)\)（有理函数域）

分裂域与代数闭包

分裂域

对\(f(x) \in K[x]\)，存在最小扩域\(F\)使得\(f\)在\(F\)上完全分解为一次因式乘积

性质： * 唯一性：任意两个分裂域\(K\)-同构 * 构造方法：逐步添加根\(\alpha_i\)得到\(K(\alpha_1,...,\alpha_n)\)

代数闭包

域\(\overline{K}\)满足： 1. 每个\(f(x) \in \overline{K}[x]\)在\(\overline{K}\)中有根 2. 没有真代数扩域

存在性定理：每个域都有代数闭包，且在\(K\)-同构意义下唯一

有限域

结构与分类

对素数幂\(q = p^n\)，存在唯一（同构意义下）\(q\)元域\(\mathbb{F}_q\)

性质： * 乘法群\(\mathbb{F}_q^\times\)是\(q-1\)阶循环群 * 子域对应：\(\mathbb{F}_{p^n}\)有\(\mathbb{F}_{p^d}\)作为子域当且仅当\(d \mid n\)

弗罗贝尼乌斯自同构

\(\sigma_p: \mathbb{F}_{p^n} \to \mathbb{F}_{p^n}\)定义为\(\sigma_p(x) = x^p\)

性质： * 生成伽罗瓦群\(\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p) = \langle \sigma_p \rangle \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)

可分扩张

可分多项式

\(f(x) \in K[x]\)无重根（在代数闭包中）

判别法： * 特征\(0\)：不可约多项式均可分 * 特征\(p\)：\(f(x)\)可分当且仅当\(f\)与\(f'\)互素

完全域

每个代数扩张都是可分扩张的域

例子： * 特征\(0\)域 * 有限域 * 完美闭包：对非完全域\(K\)，存在最小扩域\(K^{perf}\)使其完全

正规扩张

定义

代数扩张\(F/K\)满足： 每个不可约\(f(x) \in K[x]\)在\(F\)中或有根或保持不可约

等价条件： * \(F\)是\(K[x]\)中某族多项式的分裂域 * 任意\(K\)-嵌入\(\sigma: F \to \overline{K}\)满足\(\sigma(F) = F\)

伽罗瓦理论

伽罗瓦扩张

既是正规又是可分的有限扩张

伽罗瓦群

\(\operatorname{Gal}(F/K) = \{\sigma: F \to F \mid \sigma\)是\(K\)-自同构\(\}\)

基本定理： 在伽罗瓦扩张\(F/K\)中： * 子群\(H \leq \operatorname{Gal}(F/K)\)对应中间域\(F^H = \{x \in F \mid \forall \sigma \in H, \sigma(x)=x\}\) * \([F : F^H] = |H|\)且\([F^H : K] = [G : H]\) * 正规子群对应正规子扩张

库默尔理论

对\(K\)包含本原\(n\)次单位根\(\zeta_n\)且\(\operatorname{char} K \nmid n\)：

中间域\(K \subseteq E \subseteq K(\sqrt[n]{a})\)对应\(\operatorname{Gal}(K(\sqrt[n]{a})/K)\)的子群

具体构造： \(E = K(\sqrt[d]{a})\)其中\(d \mid n\)

阿廷-施莱尔理论

对特征\(p\)域\(K\)：

中间域\(K \subseteq E \subseteq K(\alpha)\)其中\(\alpha^p - \alpha = a \in K\)对应\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)的子群

超越扩张

超越基

集合\(S \subseteq F\)在\(K\)上代数无关且\(F/K(S)\)代数

性质： * 基数唯一（称为超越次数） * 对有限生成扩张\(F = K(\alpha_1,...,\alpha_n)\)，存在最大代数无关子集

刘维尔定理

若\(\alpha\)在\(K\)上超越，则\(K(\alpha)/K\)的中间域形如\(K(\beta)\)其中\(\beta = \frac{a\alpha + b}{c\alpha + d}\)

赋值理论

离散赋值

函数\(v: K^\times \to \mathbb{Z}\)满足： 1. \(v(ab) = v(a) + v(b)\) 2. \(v(a+b) \geq \min(v(a), v(b))\)

完备化

对赋值域\(K\)，存在完备域\(\hat{K}\)使得： * \(K\)在\(\hat{K}\)中稠密 * 赋值唯一延拓到\(\hat{K}\)

例子： * \(\mathbb{Q}_p\)是\(\mathbb{Q}\)关于\(p\)-adic赋值的完备化 * \(k((t))\)是\(k(t)\)关于\(t\)-adic赋值的完备化

域上代数

中心单代数

有限维\(F\)-代数\(A\)满足： * 中心\(Z(A) = F\) * 无非平凡双边理想

分类： \(A \cong M_n(D)\)其中\(D\)是\(F\)上的可除代数

布饶尔群

中心单代数按张量积和Morita等价构成的群： \(\operatorname{Br}(F) = \{中心单代数\}/\sim\)

性质： * \(\operatorname{Br}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) * \(\operatorname{Br}(\mathbb{F}_q) = 0\)

应用方向

尺规作图

点\(\alpha\)可作图当且仅当\([\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}]\)是\(2\)的幂

五次方程不可解性

一般五次方程的伽罗瓦群为\(S_5\)（不可解群）

编码理论

利用有限域\(\mathbb{F}_{2^n}\)构造纠错码

重要定理

本原元定理

有限可分扩张\(F/K\)是单扩张

克拉默定理

对特征\(0\)域\(K\)，若\(f(x) \in K[x]\)不可约且\(\deg f\)为素数\(p\)，则\(f\)的伽罗瓦群包含\(p\)-轮换

阿廷互反律

描述类域论中的范剩余符号

抽象代数综合笔记

模论基础

模的定义

设\(R\)为环，\(M\)为Abel群，配备数乘运算\(R \times M \to M\)满足： 1. \(r(m_1 + m_2) = rm_1 + rm_2\) 2. \((r_1 + r_2)m = r_1m + r_2m\) 3. \((r_1r_2)m = r_1(r_2m)\) 4. 若\(R\)含幺元则\(1_Rm = m\)

自由模

模\(M \cong R^{(I)}\)（\(I\)为某指标集），等价于存在基（线性无关生成集）

例子： * 向量空间是域上的自由模 * \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)不是自由\(\mathbb{Z}\)-模

正合序列

序列\(\cdots \to M_{i-1} \xrightarrow{f_i} M_i \xrightarrow{f_{i+1}} M_{i+1} \to \cdots\)满足\(\operatorname{im} f_i = \ker f_{i+1}\)

短正合序列：\(0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0\)

范畴论基础

范畴定义

包含： * 对象类\(\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\) * 态射集\(\operatorname{Hom}(X,Y)\) * 态射合成运算 * 恒等态射

例子： * \(\mathbf{Set}\)：集合范畴 * \(\mathbf{Grp}\)：群范畴 * \(_R\mathbf{Mod}\)：\(R\)-模范畴

函子

协变函子\(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)包含： * 对象映射\(F: \operatorname{Ob}(\mathcal{C}) \to \operatorname{Ob}(\mathcal{D})\) * 态射映射\(F: \operatorname{Hom}(X,Y) \to \operatorname{Hom}(F(X),F(Y))\)

反变函子将态射方向反转

自然变换

对函子\(F,G: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)，自然变换\(\eta: F \Rightarrow G\)包含： 对每个\(X \in \mathcal{C}\)有\(\eta_X: F(X) \to G(X)\)使得下图交换

同调代数

投射模

\(P\)满足对任意满同态\(g: B \to C\)和\(f: P \to C\)，存在提升\(\tilde{f}: P \to B\)

等价条件： * 是自由模的直和项 * \(\operatorname{Hom}(P,-)\)正合

内射模

\(I\)满足对任意单同态\(g: A \to B\)和\(f: A \to I\)，存在延拓\(\tilde{f}: B \to I\)

等价条件： * \(\operatorname{Hom}(-,I)\)正合

平坦模

\(F\)满足\(-\otimes_R F\)正合

性质： * 投射模必平坦 * 有限展示平坦模是投射模

交换代数

局部环

含唯一极大理想\(\mathfrak{m}\)的环

例子： * 形式幂级数环\(k[[x]]\) * \(p\)-adic整数\(\mathbb{Z}_p\)

诺特环

等价条件： 1. 理想满足升链条件 2. 每个理想有限生成 3. 每个素理想有限生成

克鲁尔维数

素理想链\(p_0 \subsetneq \cdots \subsetneq p_n\)的最大长度\(n\)

例子： * \(\dim k[x_1,...,x_n] = n\) * \(\dim \mathbb{Z} = 1\)

表示论

群表示

同态\(\rho: G \to GL(V)\)，其中\(V\)是向量空间

不可约表示

没有非平凡子表示

舒尔引理

若\(V,W\)是不可约表示，则： * \(\operatorname{Hom}_G(V,W) = 0\)（当\(V \not\cong W\)） * \(\operatorname{Hom}_G(V,V) = k\)（代数闭域情形）

特征理论

特征\(\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}(\rho(g))\)满足： * \(\chi_\rho\)是类函数 * \(\chi_{\rho \oplus \rho'} = \chi_\rho + \chi_{\rho'}\)

李代数

定义

向量空间\(\mathfrak{g}\)配备双线性运算\([,]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}\)满足： 1. 反对称性：\([x,x] = 0\) 2. Jacobi恒等式：\([x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0\)

例子

• 一般线性李代数\(\mathfrak{gl}_n(k) = M_n(k)\)
• 特殊线性李代数\(\mathfrak{sl}_n(k) = \{X \mid \operatorname{tr}(X)=0\}\)

泛包络代数

对李代数\(\mathfrak{g}\)，构造结合代数\(U(\mathfrak{g})\)满足： \(\iota: \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})\)是李代数同态，且满足泛性质

格论

格定义

偏序集\((L, \leq)\)满足任意二元\(a,b\)有： * 上确界\(a \vee b\) * 下确界\(a \wedge b\)

模格

满足\(a \leq b \Rightarrow \forall x, a \vee (x \wedge b) = (a \vee x) \wedge b\)

分配格

满足\(a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)\)

泛代数

代数系统

集合\(A\)配备运算\(\{f_i: A^{n_i} \to A\}\)

簇

满足一组恒等式的代数系统类

伯克霍夫定理：簇等价于对同态像、子代数、直积封闭的类

非交换环

单环

没有非平凡双边理想的环

例子： * 除环 * 矩阵环\(M_n(D)\)

阿廷-韦德伯恩定理

半单阿廷环同构于有限个除环上矩阵环的直积

同伦代数

链复形

\(\cdots \to C_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} C_n \xrightarrow{d_n} C_{n-1} \to \cdots\)满足\(d_n \circ d_{n+1} = 0\)

同调群

\(H_n(C_\bullet) = \ker d_n / \operatorname{im} d_{n+1}\)

导出函子

对右正合函子\(F\)，左导出函子\(L_nF\)通过投射消解定义

模型范畴

弱等价

类比同伦等价

纤维化

类比塞尔纤维化

上纤维化

类比赫雷维茨上纤维化

拓扑代数

拓扑群

群\(G\)配备拓扑使得乘法和逆运算连续

例子： * 李群 * 投射极限\(\varprojlim G/H\)（\(H\)为有限指标开子群）

普洛尼完备化

对离散群\(G\)，构造\(\widehat{G} = \varprojlim G/N\)（\(N\)为有限指标正规子群）

数论联系

戴德金环

整闭诺特整环且每个非零素理想极大

性质： * 理想唯一分解为素理想乘积 * 例子：代数整数环\(\mathcal{O}_K\)

类群

$\operatorname{Cl}(R) = $分式理想群/主理想群

度量唯一分解性质的失效程度

计算代数

格罗布纳基

多项式理想的标准生成集

布赫伯格算法：计算格罗布纳基

消去理想

\(I \cap k[x_{i_1},...,x_{i_k}]\)的算法计算