微积分
参考资料
函数
- 单射: \(\forall x_1,x_2 \in X,\ f (x_1)=f (x_2) \Rightarrow x_1=x_2\)
- 满射: \(\forall y \in Y,\ \exists x \in X,\ f (x)=y\)
- 双射
- 连续性与可导性
极限
- 阶
- 重要极限:
\[
\begin {cases}
\lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x} = 1\\
\lim_{x \to \infty} \left (1+\frac1x\right)^x = e
\end {cases}
\]
导数
- 方向导数
- 梯度 一个偏导数特征
- 偏导数 正交方向导数
- 导数表
微分
- 全微分 各方向微分合并
- 中值定理 揭示可导意味的"平滑"
- 微分方程
积分
- 不定积分
- 定积分: \(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \quad\)
多重积分
- 二重积分: \(\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{a}^{b} \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) \, dydx\)
- 三重积分: \(\iiint_V f(x,y,z) \, dxdydz = \int_{a}^{b} \int_{c(x)}^{d(x)} \int_{p(x,y)}^{q(x,y)} f(x,y,z) \, dzdydx\)
积分技巧
-
换元积分法: \(\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du \quad (u = g(x)\))
-
分部积分法: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
级数
- 敛散性判定
- 泰勒展开: \(f (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)